题目

题型：不详难度：来源：

设圆（x-2）²+（y-2）²=4的切线l与两坐标轴交于点A（a，0），B（0，b），ab≠0．
（1）证明：（a-4）（b-4）=8；
（2）若a＞4，b＞4，求△AOB的面积的最小值．

答案

（1）证明：直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
则圆心（2，2）到切线l的距离d=r，即

|2b+2a-ab|

b2+a2

=2，
整理得：ab-4（a+b）+8=0，
则（a-4）（b-4）=8；
（2）由（a-4）（b-4）=8，得到ab=4（a+b）-8，
又a＞4，b＞4，
∴S_△AOB=

1

2

ab=2[（a-4）+（b-4）+6]≥2（2

(a-4)(b-4)

+6）=4（3+2

2

），（当且仅当a=b=4+2

2

时取等号），
则△AOB面积的最小值是12+8

2

．