题目

题型：同步题难度：来源：

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0。
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

答案

解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，
∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
又∵圆C：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圆心C（-1，2）到切线的距离等于圆半径，即，
∴a=-1或a=3；
当截距为零时，设y=kx，同理可得k=2+或k=2-，
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0或y=（2+）x或y=（2-）x。
（2）∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PC|²-|CM|²=|PM|²=|PO|²，
∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₂²，
∴2x₁-4y₁+3=0，
∴动点P的轨迹是直线2x-4y+3=0，
∵|PM|的最小值就是|PO|的最小值，而|PO|的最小值为点O到直线2x-4y+3=0的距离d=，
∴由，可得，
则所求点P坐标为（）。