题目
题型:湖北省高考真题难度:来源:
(1)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;
(2)当m=-1时,对应的曲线为C1:对给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C2.设F1、F2是C2的两个焦点.试问:在C1上,是否存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a2。若存在,求tanF1NF2的值;若不存在,请说明理由.
答案
当x≠±a时,由条件可得,
即mx2-y2=ma2(x≠±a),
又A1(-a,0)、A2(a,0)的坐标满足mx2-y2=ma2,
故依题意,曲线C的方程为mx2-y2=ma2,
当m<-1时,曲线C的方程为,C是焦点在y轴上的椭圆;
当m=-1时,曲线C的方程为x2+y2=a2,C是圆心在原点的圆;
当-1<m<0时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆;
当m>0时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的双曲线.
(2)由(1)知,当m=-1时,C1的方程为x2+y2=a2;
当m∈(-1,0)∪(0,+∞)时,C2的两个焦点分别为,
对于给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),C1上存在点N(x0,y0)(y0≠0)使得S=|m|a2的充要条件是
,
由①得0<|y0|≤a,由②得,
当,即,或时,存在点N,使S=|m|a2;
当,即,或时,不存在满足条件的点N;
当时,
由,-y0),
可得,
令,
则由,
可得,
从而,
于是由S=|m|a2,可得,即,
综上可得:当时,在C1上,存在点N,使得S=|m|·a2,且tanF1NF2=2;
当时,在C1上,存在点N,使得S=|m|·a2,且tanF1NF2=-2;
当时,在C1上,不存在满足条件的点N.
核心考点
试题【平面内与两定点A1(-a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线,(1)求曲】;主要考察你对圆的方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求点Q的轨迹C的方程;
(2)是否存在该椭圆的切线l,使以l被曲线C截得的弦AB为直径的圆经过点F2?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(2,+∞)
(1)求圆C的方程;
(2)是否存在斜率为1的直线l,使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,若存在,求出此直线方程,若不存在,请说明理由。
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