题目

题型：江苏省月考题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=PB，记点P的轨迹曲线为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C上不同两点Q （，），R （x₂，y₂）满足=λ，点S为R 关于x轴的对称点．①试用λ表示，x₂，并求λ的取值范围；②当λ变化时，x轴上是否存在定点T，使S，T，Q三点共线，证明你的结论．

答案

解：（1）设点P坐标为（x，y），由PA=PB，
得，
平方整理得x²+y²=2a²，
所以曲线C的方程为x²+y²=2a²
（2）①由=，得，
∵Q，R在曲线C上，
∴，
∴，
∵，
∴
又Q，R不重合，
∴λ≠1，
∴λ的取值范围是
②存在符合题意的点T（a，0），证明如下：，，
要证S，T，Q三点共线，只要证明，
即（x₂﹣a）﹣（﹣a）（﹣y₂）=0
∵y₂=λ，
∴只要（x₂﹣a）+λ（﹣a）=0
若=0，则y2=0成立
若≠0，只要x₂+λ﹣a（1+λ）=0成立
所以存在点T（a，0），使S，T，Q三点共线