题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）在平面直角坐标系中,已知直线被圆截得的弦长为.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设圆和轴相交于A，B两点，点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线，交轴于M，N两点．当点P变化时，以为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论.

答案

（Ⅰ）圆的方程为
（Ⅱ）当点P变化时，以为直径的圆经过圆内一定点。

解析

（1）由得
所以圆心，所以圆心到直线的距离为
   
所以圆的方程为
（2）由（1）可知,
由题意可知直线PA的斜率存在且不为零，可设为
所以直线PA的方程为，令x=0得y=6k，
因为，所以直线PB的方程为，令x=0得y=，
所以MN的中点，不妨设，则
所以以M，N为直径的圆方程为
化简得，即
令，解得
经检验不在圆内，在圆内
所以当点P变化时，以为直径的圆经过圆内一定点。