题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）
已知直线，圆.
(Ⅰ)证明：对任意，直线恒过一定点N，且直线与圆C恒有两个公共点；
(Ⅱ)设以CN为直径的圆为圆D（D为CN中点），求证圆D的方程为：
（Ⅲ）设直线与圆的交于A、B两点，与圆D:交于点（异于C、N），当变化时，求证为AB的中点.

答案

(Ⅰ)∵N在圆C内，∴直线与圆C恒有两个公共点.
(Ⅱ)轨迹的方程为.

解析

试题分析：（1）利用圆心到直线的距离小于半径，判定，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；
（2）求解CN的中点坐标和CN的长度的一半得到圆心和半径进而求解圆的方程。
（3）利用圆的方程以及交点问题得到求证。
(Ⅰ)方法1：联立方程组
消去，得

∴直线与圆恒有两个公共点………………………………………………6分
方法2：将圆化成标准方程为
由可得：.
解得，所以直线过定点N(1,-1)
∵N在圆C内，∴直线与圆C恒有两个公共点.…………………………6分
(Ⅱ)设CN的中点为D，由于°，
∴
∴M点的轨迹为以CN为直径的圆.
CN中点D的坐标为(,0)，.
∴轨迹的方程为.……………………13分
点评：解决该试题的关键是对于圆的方程的求解的常用方法的运用，以及通过圆心到直线的距离判定线圆的位置关系的运用。