题目

题型：不详难度：来源：

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x²+y²=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。

答案

当λ=1时，方程化为x=，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点（，0）；
当λ≠1时，方程化为它表示圆，圆心的坐标为（），半径为。

解析

试题分析：
思路分析：利用“直接法”求得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
讨论λ=1和λ≠1的两种情况。
当λ=1时，方程化为x=，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于
点（，0）；
当λ≠1时，方程化为它表示圆，圆心的坐标为（），半径为。
解：设MN切圆于N，则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常数λ＞0．因为圆的半径|ON|=1，
所以|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1．
设点M的坐标为（x，y），则，
整理得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P．故这个方程为所求的轨迹方程．
当λ=1时，方程化为x=，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于
点（，0）；
当λ≠1时，方程化为它表示圆，圆心的坐标为（），半径为。
点评：中档题，求轨迹方程方法较多，本题利用直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．