题目

题型：浙江省高考真题难度：来源：

如图，设P是抛物线C₁：x²=y上的动点．过点P做圆C₂：x²+（y+3）²=1的两条切线，交直线l：y=-3于A，B两点。
（1）求C₂的圆心M到抛物线C₁准线的距离；
（2）是否存在点P，使线段AB被抛物线C₁在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题意可知，抛物线C₁的准线方程为：
所以圆心M到抛物线C₁准线的距离为；
（2）设点P的坐标为（x₀，x₀²），抛物线C₁在点P处的切线交直线l于点D
再设A，B，D的横坐标分别为
过点P（x₀，x₀²）的抛物线C₁的切线方程为：  （1）
当时，过点P（1，1）与圆C₂的切线PA为：
可得
所以
设切线PA，PB的斜率为，则
   （2）
  （3）
将分别代入（1），（2），（3），得

从而
又
即
同理
所以是方程的两个不相等的根，从而
，
因为
所以，即
从而
进而得
综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为（，）。