题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:直线与抛物线总有两个交点;
(2)设直线与抛物线的交点为Q、R,OQ⊥OR,
求p关于m的函数f(m)的表达式;
(3)在(2)的条件下,若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为
| ||
2 |
求此直线的方程.
答案
p |
4 |
直线x+y=m与x轴的交点为(m,0),
题设交点在准线右边,
得m>-1-
p |
4 |
由
|
得x2-(2m+p)x+(m2-p)=0.
而判别式△=(2m+p)2-4(m2-p)=p(4m+p+4).
又p>0及4m+p+4>0,
可知△>0.
因此,直线与抛物线总有两个交点; …(4分)
(2)设Q、R两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
由(1)知,x1、x2是方程x2-(2m+p)x+m2-p=0的两根,
∴x1+x2=2m+p,x1•x2=m2-p.
由OQ⊥OR,得kOQ•kOR=-1,
即有x1x2+y1y2=0.
又Q、R为直线x+y=m上的点,
因而y1=-x1+m,y2=-x2+m.
于是x1x2+y1y2=2x1x2-m(x1+x2)+m2=2(m2-p)-m(2m+p)+m2=0,
∴p=f(m)=
m2 |
m+2 |
由
|
得m>-2,m≠0;…(9分)
(3)由于抛物线y2=p(x+1)的焦点F坐标为(-1+
p |
4 |
于是有
|-1+
| ||
|
| ||
2 |
即|p-4m-4|=4.
又p=
m2 |
m+2 |
∴|
3m2+12m+8 |
m+2 |
解得m1=0,m2=-
8 |
3 |
4 |
3 |
但m≠0且m>-2,因而舍去m1、m2、m3,
故所求直线方程为3x+3y+4=0.…(14分)
核心考点
试题【抛物线方程为y2=p(x+1)(p>0),直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.(1)求证:直线与抛物线总有两个交点;(2)设直线与抛物线的交点为Q、】;主要考察你对点到直线的距离等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求弦AB的长;
(Ⅱ)若圆C2经过E(1,-3),F(0,4),且圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0,求圆C2的方程.
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5 |
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