题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知半圆，动圆与此半圆相切且与轴相切。
（1）求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形；
（2）是否存在斜率为的直线，它与（1）中所得轨迹的曲线由左到右顺次交于A、B、C、D四点，且满足。若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。

答案

（1）动圆圆心的轨迹方程为及
（2）这样的直线不存在

解析

（1）设动圆圆心为，做轴交轴于N。 1分
若两圆外切，，
所以，
化简得   3分
若两圆内切，，
所以，
化简得   4分
综上，动圆圆心的轨迹方程为
及，
其图象是两条抛物线位于轴上方的部分，作简图如图：   6分

（2）设直线存在其方程可设为，
依题意，它与曲线交于A，D，
与曲线交于B，C   7分
由
得及   9分

     10分

即   11分
解得，
将代入方程
得
因为曲线中横坐标范围为（-∞，-2）∪（2，+∞），
所以这样的直线不存在    12分