题目
题型:不详难度:来源:
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ;
答案
解析
(2) 设直线PQ的方程是y=x+b,因直线PQ与已知圆相切,
故=1,即b2=2.
由得x2-2bx-b2-1=0(*)
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),然后证·=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2,借助(*)式方程中的韦达定理代入此式证明·=0即可.
(1)双曲线C1:-y2=1,左顶点A,渐近线方程:y=±x.
过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=,即y=x+1.
解方程组得
所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=.
(2)设直线PQ的方程是y=x+b,因直线PQ与已知圆相切,
故=1,即b2=2.
由得x2-2bx-b2-1=0.
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则
又y1y2=(x1+b)(x2+b),所以
·=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2
=2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0.
故OP⊥OQ.
核心考点
试题【(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成】;主要考察你对点到直线的距离等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求曲线C1的方程;
(2)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于
点A,B和C,D.证明:当P在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.
A.相切 | B.相交但直线不过圆心 | C.直线过圆心 | D.相离 |
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
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