题目

题型：不详难度：来源：

（已知椭圆 经过点其离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求到直线距离的最小值.

答案

（Ⅰ）；(Ⅱ)

解析

试题分析：（Ⅰ）由离心率为，得①，又过点，得②，联立①②求；
(Ⅱ)直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般会根据已知条件结合韦达定理列式确定参数的值或者取值范围，设直线：，联立椭圆方程，消去，得关于的二次方程，设，利用韦达定理将点的坐标表示出来，，因为在椭圆上，代入椭圆方程，得的等式①，点到直线的距离为，联立①得关于，或的函数，进而求其最小值，再考虑斜率不存在时的情况，求最小值，然后和斜率存在时候的最小值比较大小，得结论.
试题解析：（Ⅰ）由已知，所以, ①  又点在椭圆上，所以，     ②  由①②解之得,故椭圆的方程为 ；
(Ⅱ)当直线有斜率时，设时，则由
消去得，
，  ③
设则，由于点在椭圆上，所以，从而，化简得，经检验满足③式，又点到直线的距离为：，并且仅当时等号成立；当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点为，直线为，所以点到直线的距离为1，所以点到直线的距离最小值为.