题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N*）满足a_n+1=a_nb_n+1，，且点P₁的坐标为（1，-1），
（Ⅰ）求经过点P₁，P₂的直线l的方程；
（Ⅱ）已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N*）在P₁，P₂两点确定的直线l上，求证：数列是等差数列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N*，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥
成立的最大实数k的值。

答案

解：（Ⅰ）因为，所以，
所以，
所以过点P₁，P₂的直线l的方程为2x+y=1。 
（Ⅱ）因为P_n（a_n，b_n）在直线l上，所以，
所以，
由，
所以，
所以是公差为2的等差数列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，
所以，所以，
所以，
依题意恒成立，
设，
所以只需求满足k ≤F（n）的F（n）的最小值，
因为
，
所以F（n）（x∈N*）为增函数，
所以，
所以，
所以。