题目

题型：期末题难度：来源：

设A，B 是椭圆3x²+y²= λ上的两点，点N(1，3) 是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点(1) 当λ=3时，求椭圆的焦点坐标；  
(2) 确定λ的取值范围，并求直线AB的方程．

答案

解：(1)当λ=3时，椭圆3x²+y²=3，
即
a²=3，b²=1，c=
所以椭圆的焦点坐标是
(2)依题意，可设直线AB的方程为y=k(x-1)+3，
代入3x²+y²=λ，整理得(k²+3)x²-2k(k-3)x+(k-3)²-λ=0，    ①
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁，x₂是方程①的两个不同的根，
∴,且Δ=4[λ(k²+3)-3(k-3)²]>0.②
由N(1，3)是线段AB的中点，得
∴k(k-3)=k²+3，解得k=-1；
代入②得λ>12，
即λ的取值范围是(12，+∞）．
于是，直线AB的方程y=-1（x-1）+3即x+y-4=0．