题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C：y²=4x，过点A（-1，0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设

AP

=λ

AQ

．
（Ⅰ）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；
（Ⅱ）若λ∈[

1

3

，

1

2

]求当|PQ|最大时，直线PQ的方程．

答案

（Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₁，-y₁）
∵

AP

=λ

AQ

∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂，∴y₁²=λ²y₂²，y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，x₁=λ²x₂
∴λ²x₂+1=λ（x₂+1），λx₂（λ-1）=（λ-1）
∵λ≠1，∴x₂=

1

λ

，x₁=λ，
由抛物线C：y²=4x，得到F（1，0），
∴

MF

=（1-x₁，y₁）=（1-λ，λy₂）=λ（

1

λ

-1，y₂）=λ

FQ

，
∴直线MQ经过抛物线C的焦点F；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x₂=

1

λ

，x₁=λ，得x₁x₂=1，y₁²-y₂²=16x₁x₂=16，y₁y₂＞0，y₁y₂=4，
则|PQ|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²-2（x₁x₂+y₁y₂）=（λ+

1

λ

）²+4（λ+

1

λ

）-12=（λ+

1

λ

+2）²-16
λ∈[

1

3

，

1

2

]，λ+

1

λ

∈[

5

2

，

10

3

]，
当λ+

1

λ

=

10

3

，即λ=

1

3

时，|PQ|²有最大值

112

9

，则|PQ|的最大值为

4 7

3

，
此时Q（3，±2

3

），P（

1

3

，±

2 3

3

），
k_PQ=±

2 3 - 2 3 3

3- 1 3

=±

3

2

，
则直线PQ的方程为：

3

x±2y+

3

=0