题目

题型：不详难度：来源：

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，长轴长为12，直线y=kx-4与椭圆交于A，B，弦AB的长为

10

，求此直线的斜率．

答案

由长轴长为12，得a=6，由离心率为

3

2

，得

c

6

=

3

2

，解得c=3

3

，所以b²=a²-c²=36-27=9，
所以椭圆方程为：

x2

36

+

y2

9

=1，
设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），由

y=kx-4 x2 36 + y2 9 =1

，消掉y得（1+4k²）x²-32kx+28=0，则x1+x2=

32k

1+4k2

，x1x2=

28

1+4k2

，
△=（32k）²-4×28（1+4k²）=16（36k²-7），
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( 32k 1+4k2 )2-4× 28 1+4k2

=

(1+k2)(36k2-7)

1+4k2

=

10

．
解得k=±

1

2

，经验证△＞0成立，
故直线斜率为：k=±

1

2

．