题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知点，及⊙：。
（Ⅰ）当直线过点且与圆心的距离为1时，求直线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与⊙交于、两点，当，求以线段为直径的圆的方程。

答案

解：（Ⅰ）或；（Ⅱ）

解析

分析：（1）把圆的方程变为标准方程后，分两种情况①斜率k存在时，因为直线经过点P，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k的值和P的坐标写出直线l的方程即可；②当斜率不存在时显然得到直线l的方程为x=2；（
2）利用弦|AB|的长和圆的半径，根据垂径定理可求出弦心距|CP|的长，然后设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于|CP|列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程，把直线l的方程与已知圆的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理即可求出线段AB中点的纵坐标，把纵坐标代入到直线l的方程中即可求出横坐标，即可得线段AB的中点坐标即为线段AB为直径的圆的圆心坐标，圆的半径为|AB|的一半，根据圆心和半径写出所求圆的标准方程即可．
解：（1）由题意知，圆的标准方程为：（x-3）²+（y+2）²=9，
①设直线l的斜率为k（k存在）
则方程为y-0=k（x-2）即kx-y-2k=0
又⊙C的圆心为（3，-2），r=3，
由＝1?k＝?
所以直线方程为y＝? (x?2)即3x+4y-6=0；
②当k不存在时，直线l的方程为x=2．
综上，直线l的方程为3x+4y-6=0或x=2；
（2）由弦心距d＝＝，即|CP|=，
设直线l的方程为y-0=k（x-2）即kx-y-2k=0则圆心（3，-2）到直线l的距离d==，
解得k=，所以直线l的方程为x-2y-2=0联立直线l与圆的方程得，
消去x得5y2-4=0，则P的纵坐标为0，把y=0代入到直线l中得到x=2，
则线段AB的中点P坐标为（2，0），所求圆的半径为：|AB|=2，
故以线段AB为直径的圆的方程为：（x-2）²+y²=4．