题目
题型:不详难度:来源:
⑴ 证明:不论取何值,直线和圆总相交;
⑵ 当取何值时,圆被直线截得的弦长最短?并求最短的弦的长度.
答案
方法一:圆的方程可化为:,圆心为,半径.
直线的方程可化为:,直线过定点,斜率为.
定点到圆心的距离,
∴定点在圆内部,∴不论取何值,直线和圆总相交.
方法二:圆的方程可化为:,圆心为,半径.
圆心到直线的距离,
,因,,,
故,∴不论取何值,直线和圆总相交.
⑵. 圆心到直线的距离
被直线截得的弦长=,
当时,弦长;
当时,弦长,下面考虑先求函数的值域.
由函数知识可以证明:函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增(证明略),
故当时,函数在处取得最大值-2;当时,函数在处取得最小值2.
即或,
故或,可得
或,即且,
且,
且.
综上,当时,弦长取得最小值;当时,弦长取得最大值4.
解析
核心考点
举一反三
A.2 | B. | C.4 | D.4 |
(1)求的取值范围; (2)若圆与直线交于P、Q两点,且以PQ为直径的圆恰过坐标原点,求实数m的值.
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