题目

题型：江苏高考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆的顶点，过坐标原点直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，
(1)若直线PA平分线段MN，求k的值；
(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
(3)对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

答案

解：(1)由题设知，a=2，，故M(-2，0)，，
所以线段MN中点的坐标为，
由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，
又直线PA过坐标原点，
所以。
(2)直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得，
因此，于是，
直线AC的斜率为，
故直线AB的方程为，
因此，。
(3)设P(m，n)，B(x，y)，则A(-m，-n)，C(m，0)，
∵A，B，C三点共线，
∴，
∵P(m，n)，B(x，y)在椭圆上，
∴，
∴，
∴，
∴PA⊥PB。