题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

如图，已知点D（0，-2），过点D作抛物线C₁：x²=2py （p ∈[1 ，4] ）的切线l ，切点A在第二象限。
（1）求切点A的纵坐标；
（2）若离心率为的椭圆恰好经过A点，设切线l交椭圆的另一点为B，若设切线l，直线OA，OB的斜率为k，k₁，k₂，
①试用斜率k表示k₁+k₂；
②当k₁+k₂取得最大值时求此时椭圆的方程。

答案

解：（1 ）设切点A，
依题意则有解得，
即A点的纵坐标为2；
（2）①依题意可设椭圆的方程为，
直线AB方程为：；
由得，（*）
由（1）可得A，
将A代入（*）可得，
故椭圆的方程可简化为；
联立直线AB与椭圆的方程：，
消去y得：，
则
，
又∵，
∴k∈［-2，-1］；
即；
②由可知上为单调递增函数，
故当k=-1时，取到最大值，此时p＝4，
故椭圆的方程为。