题目

题型：丰台区二模难度：来源：

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

9

+y2=1的左、右焦点．
（I）若M是该椭圆上的一个动点，求

mF1

•

MF2

的最大值和最小值；
（II）设过定点（0，2）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，且∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

答案

（I）由已知a=3，b=1，c=2

2

，则F1(-2

2

，0)，F2(2

2

，0)，设M(x，y)（2分）

MF1

•

MF2

=(-2

2

-x)(2

2

-x)+y2=

8

9

x2-7x∈[-3，3]（5分）
所以当x=0时，

MF1

•

MF2

有最小值为-7；
当x=±3时，

MF1

•

MF2

有最大值为1．（7分）
（II）设点A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）直线AB方程：y=kx+2

y=kx+2 x2+9y2=9

⇒(1+9k2)x2+36kx+27=0，※
有x1+x2=-

36k

1+9k2

，x1x2=

27

1+9k2

y1y2=

-9k2+4

1+9k2

（9分）
因为∠AOB为钝角，
所以

OA

•

OB

＜0，即x1x2+y1y2＜0⇒

27

1+9k2

+

-9k2+4

1+9k2

＜0（12分）
解得k2＞

31

9

⇒k＞

31

3

或

31

3

，此时满足方程※有两个不等的实根（14分）
故直线l的斜率k的取值范围k＞

31

3

或k＜-

31

3