题目

题型：同步题难度：来源：

在棱长为α的正方体ABCD- A₁B₁C₁D₁中，设M、N、E、F分别是棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中点．
（1）求证：E、F、B、D四点共面；
（2）求证：平面AMN∥平面EFDB；
（3）求平面AMN和平面BFED间的距离．

答案

（1）证明：，而E、F分别是、的中点，
∴，
∴E、F、B、D四点共面． （2）证明：连结AC交BD于O点，连结A′C′，交MN、EF于G、K，
连结AG、OK，
，，
∴，
又且，
∴，∴四边形AOKG为平行四边形 ，∴AG∥OK，
∴AG∥平面BEFD，
又，
∴MN∥平面BFED，
∴平面AMN∥平面BFED．
（3）解：过G作GH⊥OK于H，则GH即为所求，
，
∴，
又，
∴，
又，
∴∽△GHK，∴，
又∵，∴，
又 ∵，，
∴，
所以，平面AMN与平面BFED之间距离为。