题目

题型：福建省模拟题难度：来源：

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF，AD=，EF=2，BE=3，CF=4。
(Ⅰ)求证：EF⊥平面DCE；
(Ⅱ)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°．

答案

（Ⅰ）证明：在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=2，
∵在△FCE中，CF²=EF²+CE²，
∴EF⊥CE，
由已知条件知，DC⊥平面EFCB，∴DC⊥EF，
又DC与EC相交于C，
∴EF⊥平面DCE。（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH，
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，
从而AH⊥EF，
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角，
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4，EC=，
∴∠CEF=60°，由CE∥BH，得∠BHE=60°，
又在Rt△BHE中，BE=3，
∴，
由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，
在Rt△AHB中，解得：，
所以，当时，二面角A-EF-C的大小为60°。