题目

题型：浙江省高考真题难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4， 沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，
(Ⅰ)求二面角A′-FD-C的余弦值；
(Ⅱ)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．

答案

解：(Ⅰ)取线段EF的中点H，连结A′H，
因为A′E=A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF，
又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H平面A′EF，
所以A′H⊥平面BEF，
如图建立空间直角坐标系A-xyz，
则，
故，
设n=(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量，
所以，
取，则，
又平面BEF的一个法向量m=(0，0，1)，
故，
所以二面角的余弦值为；
(Ⅱ)设FM=x，则M(4+x，0，0)，
因为翻折后，C与A′重合，所以CM=A′M，
故（6-x）²+8²+0²=（-2-x）² +2²+（2）²，得，
经检验，此时点N在线段BC上．
所以。