题目

题型：陕西省高考真题难度：来源：

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=，∠ABC=60°。

（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的大小。

答案

（Ⅰ）证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以，
在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，
由正弦定理，得∠ACB=30°，
所以∠BAC=90°，即AB⊥AC，
所以AB⊥平面ACC₁A₁，
又因为AC₁平面ACC₁A₁，
所以AB⊥A₁C。

（Ⅱ）解：如图，作交于D，连结BD，
由三垂线定理可得BD⊥A₁C，
所以∠ABD为为二面角A-A₁C-B的平面角，
在Rt△AA₁C中，，
在Rt△BAD中，，
所以，，
即二面角A-AC₁-B的大小为。