题目

题型：江西省月考题难度：来源：

如图，在三棱拄ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，求二面角A﹣EB₁﹣A₁的平面角的正切值．

答案

证明：（Ⅰ）因为AB⊥侧面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁
在△BC₁C中，
由余弦定理有
故有BC²+BC₁²=CC₁²
∴C₁B⊥BC
而BC∩AB=B且AB，BC平面ABC
∴C₁B⊥平面ABC

（Ⅱ）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE平面ABE
从而B₁E⊥平面ABE且BE平面ABE故BE⊥B₁E
不妨设CE=x，则C₁E=2﹣x，则BE²=1+x²﹣x
又∵则B₁E²=1+x²+x
在Rt△BEB₁中有x²+x+1+x²﹣x+1=4从而x=±1（舍负）
故E为CC₁的中点时，EA⊥EB₁
（Ⅲ）取EB₁的中点D，A₁E的中点F，BB₁的中点N，AB₁的中点M
连DF则DF∥A₁B₁，连DN则DN∥BE，连MN则MN∥A₁B₁
连MF则MF∥BE，且MNDF为矩形，MD∥AE
又∵A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁故∠MDF为所求二面角的平面角
在Rt△DFM中，
∴