题目

题型：江苏省期末题难度：来源：

已知斜三棱柱ABC﹣，∠BCA=90°，AC=BC=2，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知B⊥A．
（1）求证：A⊥平面BC；
（2）求二面角A﹣B﹣C的大小．

答案

解：（1）取AB的中点E，
因为D为AC的中点
则DE为△ABC中位线，
得出DE∥BC，
因为BC⊥AC，
所以DE⊥AC，
又D⊥平面ABC，
所以DE，DC，D 两两垂直，
以DE，DC，D为轴建立空间坐标系，
则A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），（0，0，t），（0，2，t），=（0，3，t），=（﹣2，﹣1，t），=（2，0，0），
由 ·=0，知A⊥CB，
又B⊥A，，
从而A⊥平面ABC．
（2）由·=﹣3+t2=0，得t=．
设平面AB的一个法向量为=（x，y，z），
因为=（0，1，），=（2，2，0），
所以，
设z=1，则=（，，1）
再设平面BC 的一个法向量为=（z"，y"，z"），
因为=（0，﹣1， ），=（2，0，0），
所以，
设z=1，则为=（0，，1），
∴cos＜，＞===﹣．，
又二面角A﹣B﹣C 为锐二面角，
所以大小为arccos．