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题目
题型:浙江省模拟题难度:来源:
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.
(Ⅰ)试证:CD⊥平面BEF;
(Ⅱ)设PA=k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30°,求k的取值范围.
答案
解:(I)证明:由已知DF∥AB且∠DAB为直角.故ABFD是矩形.
从而CD⊥BF.又PB⊥底面ABCD,CD⊥AD,
故由三垂线定理知CD⊥PD.
在△PDC中, E、F分别为PC、CD的中点,故EF∥PD,
从而CD⊥EF,由此得CD⊥面BEF.
(II)连接AC交BF于G,易知G为AC的中点,连接EG,
则在△PAC中易知EG∥PA.
因PA⊥底面ABCD,故EG⊥底面ABCD.
在底面ABCD中,过G作GH⊥BD.垂足为H,连接EH,
由三垂线定理知EH⊥BD.从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角.
设AB=α则在△PAC中,有EG= PA=
以下计算GH,考虑底面的平面图,连接GD,
因S△CBD= BD·GH= GB·DF 故GH=
在△ABD中,因AB=a.AD=2a.得BD=a.
而GB= FB= AD=a,DF=AB,
从而得GH= = =
因此,
由k>0知∠EHG是锐角.
故要使∠EHG>30°,必须 >tan30°=
取值范围为k>

解法二:(Ⅰ)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为:轴建立空间直角坐标系,
AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).
从而=(2a,0,0), =(0,2a,0),    ·=0,

PA=b,则P(0,0,b),而EPC中点.
故E从而=·=0故
  由此得CD⊥BEF
(Ⅱ)设ExOy平面上的投影为G,过G作GHBD垂足为H,
由三垂线定理知EH⊥BD.从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角.
由PA=k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).
设H(x,y,0),则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),
·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a      ①
又因=(x,a,y,0),且的方向相同,故
即2x+y=2a      ②
由①②解得x=a,y=a,从而,||=a.

k>0知,∠EHC是锐角,
由∠EHC>得tanEHG>tan
k的取值范围为k.
核心考点
试题【如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.(Ⅰ)试证:CD⊥平面BEF;(Ⅱ】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,SA⊥底面ABCD,AB=2,AD=1,,E在棱SD上, 
 (Ⅰ) 当SE=3ED时,求证:SD⊥平面AEC;  
(Ⅱ) 当二面角S-AC-E的大小为时,求直线AE与平面CDE所成角的正弦值.
题型:陕西省模拟题难度:| 查看答案
将边长为2的正△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B-AD-C,则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为(    )
题型:河北省模拟题难度:| 查看答案
若三棱锥各侧面与底面所成的二面角均为60°,底面三角形三边为3、4、5,则此三棱锥的侧面积为______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图1,在直角梯形ABCD中,ABCD,AB⊥AD,且AB=AD=
1
2
CD=1.现以AD为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD互相垂直,如图2.

魔方格

(1)求证:平面BDE⊥平面BEC;
(2)求平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的大小.
题型:深圳二模难度:| 查看答案
从P点引三条射线PA,PB,PC,每两条射线夹角为60°,则平面PAB和平面PBC所成二面角正弦值为(  )
A.
2


2
3
B.


6
3
C.


3
3
D.


3
2
题型:武汉模拟难度:| 查看答案
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