在二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB=1，AC=BD=2，CD=5，则二面角α-l-β的余弦值为______ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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在二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB=1，AC=BD=2，CD=

，则二面角α-l-β的余弦值为______．

答案

根据题意画出图形：

在平面β内，过A作AE∥BD，过点D作DE∥l，交AE于点E．连接CE．
∵BD⊥l，∴AE⊥l．∴ED⊥平面CAE．
又AC⊥l，∴∠CAE是二面角α-l-β的平面角．
由矩形ABDE得EA=2，ED=1．
在Rt△CED中，由勾股定理得CE=

CD2-ED2

=2．
∴△ACE是等边三角形，∴∠CAE=60°，∴cos∠CAE=

．
故答案为

．

核心考点

试题【在二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB=1，AC=BD=2，CD=5，则二面角α-l-β的余弦值为______】；主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，则CD的长为______．

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长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁=a，底面ABCD的边长AB=2a，BC=a，E为C₁D₁的中点；
（1）求证：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

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已知△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为AB的中点，E，F分别在线段AC，BC上，且EF∥AB，EF交CD于G，把△ADC沿CD折起，如图所示，

（1）求证：E₁F∥平面A₁BD；
（2）当二面角A₁-CD-B为直二面角时，是否存在点F，使得直线A₁F与平面BCD所成的角为60°，若存在求CF的长，若不存在说明理由．

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如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．

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已知

=(-2，2，5)，

=(6，-4，4)，

，

分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式（　　）

A．平行	B．垂直
C．所成的二面角为锐角	D．所成的二面角为钝角

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