题目
题型:不详难度:来源:
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)求二面角B-AP-C的余弦值;
(3)判断在线段AC上是否存在点Q,使得△PQB为直角三角形?若存在,找出所有符合要求的点Q,并求
AQ |
QC |
答案
在△APC中,∠APC=90°,AC=2PA=4,∴∠PAC=60°,∴PO=APsin60°=
3 |
∴三棱锥P-ABC的体积V=
1 |
3 |
1 |
3 |
3 |
| ||
4 |
(2)取AC,AB的中点分别为M,N,连接BM,ON.
在等边△ABC中,∵O、N分别为AM、AB的中点,∴ON∥BM,∴ON⊥AC.
由(1)可知:PO⊥平面ABC,∴PO⊥ON,PO⊥OC,因此可以建立如图所示的空间直角坐标系.
A(0,-1,0),B(2
3 |
3 |
∴
AB |
3 |
AP |
3 |
设
n |
n |
AB |
n |
AP |
∴
|
3 |
n |
3 |
∵x轴⊥平面APC,∴可以取
m |
设二面角B-AP-C的大小为θ,由图可知θ∈(0,
π |
2 |
∴cosθ=
|
| ||||
|
|
1 | ||||
|
| ||
5 |
∴二面角B-AP-C的余弦值为
| ||
5 |
(3)在线段AC上存在点Q,使得△PQB为直角三角形.
设Q(0,m,0)(-1≤m≤3).
则
PQ |
3 |
BQ |
3 |
PB |
3 |
3 |
①当∠PQB=90°时,则
PQ |
BQ |
当m=0时,Q与O重合,△PQB为直角三角形,且
AQ |
QB |
1 |
3 |
当m=1时,Q与M重合,△PQB为直角三角形,且
AQ |
QB |
②当∠PBQ=90°时,则
PB |
BQ |
③当∠BPQ=90°时,则
PB |
PQ |
综上可知:在线段AC上存在点Q,使得△PQB为直角三角形,且
AQ |
QB |
1 |
3 |
AQ |
QB |
核心考点
试题【如图,在三棱锥P-ABC中,底面△ABC为等边三角形,∠APC=90°,AC=2PA=4,且平面PAC⊥平面ABC.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)求二面】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
(1)在BD上确定一点E,使D1E∥面A1C1B;
(2)求直线BB1和面A1C1B所成角的正弦值;
(3)求面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值.
A.45° | B.30° | C.60° | D.90° |
(1)求这个四棱锥的全面积及体积;
(2)求证:PA⊥BD;
(3)在线段PD上是否存在一点Q,使二面角Q-AC-D的平面角为30°?若存在,求
|DQ| |
|DP| |
(Ⅰ)求证:AE∥平面DCF;
(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°?
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