题目
题型:不详难度:来源:
3 |
(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的余弦值.
答案
又tan∠ABD=
AD |
AB |
| ||
3 |
BC |
AB |
3 |
∴∠ABD=30,°∠BAC=60°
∴∠AEB=90°,即BD⊥AC
又PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC.
(Ⅱ)过E作EF⊥PC,垂足为F,连接DF,
∵DE⊥平面PAC,EF是DF在平面PAC上的射影,由三垂线定理知PC⊥DF,
∴∠EFD为二面角A-PC-D的平面角.
又∠DAC=90°-∠BAC=30°
∴DE=ADsin∠DAC=1,AE=ABsin∠ABE=
3 |
又AC=4
3 |
∴EC=3
3 |
由Rt△EFC∽Rt△PAC得EF=
PA•EC |
PC |
3
| ||
2 |
在Rt△EFD中,tan∠EFD=
DE |
EF |
2
| ||
9 |
∴cos∠EFD=
9 |
93 |
93 |
∴二面角A-PC-D的余弦值为
9 |
93 |
93 |
解法二:(Ⅰ)如图,建立坐标系,则A(0,0,0),B(2
3 |
3 |
∴
AP |
AC |
3 |
BD |
3 |
∴
BD |
AP |
BD |
AC |
∴BD⊥AP,BD⊥AC,又PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC.
(Ⅱ)设平面PCD的法向量为
n |
则
CD |
n |
PD |
n |
又
CD |
3 |
PD |
∴
|
|
∴
n |
4 |
3 |
3 |
平面PAC的法向量取为
m |
BD |
3 |
∴cos<
n |
BD |
| ||||
|
|
12 | ||||
|
9 | ||
|
9 |
93 |
93 |
∴二面角A-PC-D的余弦值为
9 |
93 |
93 |
核心考点
试题【如图,在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=4.AD=2,AB=23,BC=6.(Ⅰ)求证:BD⊥平面】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
2 |
(Ⅰ)求证:PD⊥面ABCD;
(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小.
| ||
2 |
(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小;
(2)若E是PB的中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值;
(3)问在棱AD上是否存在一点F,使EF⊥侧面PBC,若存在,试确定点F的位置;若不存在,说明理由.
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1;
③AC1与底面ABCD所成角的正切值是
2 |
④二面角C-B1D1-C1的正切值是
2 |
⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条.
2 |
(1)证明:AM⊥PM;
(2)求二面角P-AM-D的大小.
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