题目

题型：浙江省模拟题难度：来源：

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，P是BC的中点，侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，且侧棱AA₁与底面ABC所成的角为60°，
（Ⅰ）证明：直线A₁C∥平面AB₁P；
（Ⅱ）求直线AB₁与平面ACC₁A₁所成角的正弦值。

答案

解：（Ⅰ）连接A₁B交AB₁于Q，
则Q为A₁B中点，连结PQ，
∵P是BC的中点，
∴PQ∥A₁C，
∵PQ平面AB₁P，A₁C 平面AB₁P，
∴A₁C∥平面AB₁P。
（Ⅱ）取中点M，连、AM，
则，
∵平面平面ABC，
∴平面平面，
∴平面，
∴为直线与平面所成的角， 
在正中，边长为2，M是中点，
∴，
∵面平面ABC，
∴为与平面ABC所成的角，即，
在菱形中，边长为2，
，M是中点，
∴，
∴，
在中，，，
从而，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为。