题目

题型：不详难度：来源：

已知二面角α-PQ-β为60°，点A和B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a．
（1）求证：AB⊥PQ；
（2）求点B到平面α的距离；
（3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角为45°，求CR的长．

答案

证明：（1）作BM⊥PQ于M，连接AM，
∵∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a，
∴△MBC≌△MAC，∴AM⊥PQ，PQ⊥平面ABM，AB⊂平面ABM，
∴AB⊥PQ．
（2）作BN⊥AM于N，
∵PQ⊥平面ABM，∴BN⊥PQ，
∴BN⊥α，BN是点B到平面α的距离，由（1）知∠BMA=60°，
∴BN=BMsin60°=CBsin30°sin60°=

3 a

4

．
∴点B到平面α的距离为

3 a

4

．
（3）连接NR，BR，∵BN⊥α，BR与平面α所成的角为∠BRN=45°，
RN=BN=

3 a

4

，CM=BCcos30°=

3 a

2

，
∴RN=

1

2

CM，∵∠BMA=60°，BM=AM，△BMA为正三角形，
N是BM中点，∴R是CB中点，∴CR=

a

2

．