题目

题型：不详难度：来源：

.(本小题满分14分）
如图7，在直三棱柱中，，分别是的中点，是的中点.
(1)求证:;(2)求三棱锥的体积;(3)求二面角的余弦值.

答案

解:(1)证明:
证法一:在直三棱柱中,平面,平面
 
分别是的中点，
 
……1分
在中,
易证
在中,
同理可得
为等边三角形, ……2分
又是的中点, ……3分
……4分
……5分
证法二:以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，的长度为单位长度建立空间直角坐标系. ……1分
由题设知点的坐标分别为.
,,……2分
=0
,……3分
……4分
……5分
(2)解法一：取的中点，连


又
平面……6分
……7分
……8分


……9分
解法二：取的中点，连


又
……6分
三棱锥的体积为
……7分
……8分

=……9分
解法三：易知与是全等的边长为的等边三角形

等腰三角形的底边上的高为
三角形的面积为……6分
由（1）知
三棱锥的体积为
……7分
……8分


……9分
（3）解法一：由
（2）解法一、二易知平面，过F作于H,连接HE
是的中点，

平面HEF，平面HEF
平面，平面
即是所求二面角的平面角. ……11分
在中,

……13分
二面角的余弦值是.……14分
解法二: 以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，的长度为单位长度建立空间直角坐标系. ……10分
由题设知点的坐标分别为.
,,……11分
设平面的法向量为
,取,得.……12分
DA
……13分
结合图象知二面角的余弦值是.……14分

解析

略