题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若直线与平面所成角是,锐二面角的平面角是,试判断与的大小关系,并予以证明.
答案
(I)
证明:如图,过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D,
则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1于A1B,
得AD⊥平面A1BC, ………………(2分)
又BC平面A1BC,∴AD⊥BC.
在直三棱柱ABC—A1B1C1中,
AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥BC. ………………(4分)
又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB侧面A1ABB1,故AB⊥BC;…………(6分)
(II)
方法1:连接CD,则由(I)知是直线AC与平面A1BC所成的角,
………………(8分)
是二面角A1—BC—A的平面角,即,
………………(10分)
在Rt△ADC中,,在Rt△ADB中,,
由ACAB,得又所以
………………(12分)
方法2:设AA1=a,AB=b,BC=c,由(I)知,以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在
的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A(0,b,0),C(c,0,0),,b,a),
∴(c,0,0),( 0,b,a),…………(7分)
( c,-b,0),设平面A1BC的一个,
由,得,取, ……………(9分)
∴,
∵平面ABC的法向量为( 0,0,a),∵二面角A1—BC—A的平面角是锐角,
∴,
……………(10分)
∵,∴,,
∵,∴. ………………(12分)
解析
核心考点
举一反三
,是中点,点在边上.
(I)求三棱锥的体积;
(II)求证:;
(III)若平面,试确定点的位置.
①若,则m∥;
②若,则;
③若,则;
④若是异面直线,,则.
其中正确的命题序号是 ▲ .
求证:(Ⅰ)∥平面;
(Ⅱ)平面平面
如图,直二面角中,四边形是正方形,为CE上的点,且平面.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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