题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:;
(2)求与平面所成角的正弦值.
答案
连结交于点,连结得平面,
,所以平面,从而.又
所以平面,从而.
解法二: 因为几何体为正四棱锥,几何体为正四面体.
故可设
取的中点,连结,由题意知
故是二面角的平面角, 是二面角的平面角,
在中,,
所以,
在中,,
所以
从而,从而四点共面,
故四边形为菱形,从而
(2)由解法二知四边形为菱形,于是,∥,
所以点到平面的距离等于点到平面的距离,
设点到平面的距离为,由得:
进而得,所以与平面所成角的正弦值
解法三:如图,以OB为x轴,OC为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系。
不妨设|OB|=1,则B(1,0,0),C(0,1,0), D(-1,0,0),A(0,-1,0)
因为为正四面体,所以为正三角形,所以,所以,因此P(0,0,1)。
设的重心为M,则面PCB,又也为正三棱锥,因此面PCB,因此O、M、Q三点共线,所以OQ垂直面PCB,即是平面PCB的一个法向量,
由,易得平面PCB的一个法向量可以取,所以不妨设Q(a,a,a),则,因为解得a=1,所以Q(1,1,1)。
(1),,,所以;
(2)设面PAD的一个法向量为,,,由
解得一个法向量,
所以,所以QD与平面PAD所成角的正弦值为。
解析
核心考点
举一反三
A.,,则 |
B.a,,,,则 |
C.,,则 |
D.当,且时,若∥,则∥ |
(1)求证:平面平面;
(2)若二面角的余弦值为,设,求的值.
A.不存在与l垂直的直线 | B.存在一条与l垂直的直线 |
C.存在无数条与l垂直的直线 | D.任一条都与l垂直 |
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