题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，
平面，，分别是，的中点.

（1）求证：∥平面；
（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，
求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值.

答案

（1）延长交的延长线于点，连接∵∥，且∴为的中点. ∴∥.∴∥平面（2）

解析

试题分析：解法一：
（1）证明：延长交的延长线于点，连接.

∵∥，且，
∴为的中点.  
∵为的中点，
∴∥. 
∵平面，平面，
∴∥平面. 
（2）解：∵平面，平面，
∴.
∵△是边长为的等边三角形，是的中点，
∴，. 
∵平面，平面，，
∴平面.
∴为与平面所成的角.  
∵，
在Rt△中，，
∴当最短时，的值最大，则最大.
∴当时，最大. 此时，.
∴.
∵∥，平面，
∴平面.
∵平面，平面，
∴，.   
∴为平面 与平面所成二面角（锐角）.
在Rt△中，，.
∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.
解法二：
（1）证明：取的中点，连接、.

∵为的中点，
∴∥，且.
∵∥，且，
∴∥，.  
∴四边形是平行四边形.
∴∥.  
∵平面，平面，
∴∥平面.  
（2）解：∵平面，平面，
∴.
∵△是边长为的等边三角形，是的中点，
∴，.
∵平面，平面，，
∴平面.
∴为与平面所成的角. 
∵，
在Rt△中，，
∴当最短时，的值最大，则最大. 
∴当时，最大. 此时，.
∴.  
在Rt△中，.
∵Rt△～Rt△，
∴，即.
∴.  
以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，
建立空间直角坐标系.
则，，，.
∴， ， .
设平面的法向量为，
由，，
得 
令，则.
∴平面的一个法向量为. 
∵平面， ∴是平面的一个法向量.
∴.   
∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. 
点评：立体几何题目若能找到从同一点出发的三线两两垂直则一般采用空间向量的方法求解，并且向量法求解立体几何问题是高考题目的方向。本题还考查了空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法