题目

题型：河北省期中题难度：来源：

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求B到平面OCD的距离。

答案

解（1）∵CD∥AB，
∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角），
取CD中点P连接MP、AP则CD⊥AP，
∵OA⊥平面ABCD，
∴CD⊥MP，
∵，
∴cos∠MDP=，
所以AB与MD所成角的大小为arccos；
（2）∵AB∥平面OCD，
∴点A和点B到平面OCD的距离相等，
连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，
∵AQ平面OAP，
∴AQ⊥CD，
又∵AQ⊥OP，
∴AQ⊥平面OCD，
线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，
∵底面为菱形边长为1，∠ABC=60°，
∴AP=，
Rt△OAP中，OP=，
AQ·OP=OA·AP，
∴AQ=，
点B到平面OCD的距离为。