题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，高为2，M为线段AB的中点，求：
（1）三棱锥C₁-MBC的体积；
（2）异面直线CD与MC₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。

答案

解：（1）连接CM，
∵正方形ABCD中，M为AB中点，且边长为1，
∴△BCM的面积为S=S_{正方形ABCD}=
又∵CC₁⊥平面ABCD，
∴CC₁是三棱锥C₁-MBC的高，
∴三棱锥C₁-MBC的体积为：V_C1-MBC=××2=；
（2）连接BC₁
∵CD∥AB，
∴∠C₁MB（或其补角）为异面直线CD与MC₁所成的角．
∵AB⊥平面B₁C₁CB，BC₁?平面B₁C₁CB，
∴AB⊥BC₁
Rt△MC₁B中，BC₁==，MB=AB=
∴tan∠C₁MB==
所以异面直线CD与MC₁所成角为arctan。