已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°．（Ⅰ）求对角线AC1的长．（Ⅱ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA₁的长为b，∠A₁AB=∠A₁AD=120°．
（Ⅰ）求对角线AC₁的长．
（Ⅱ）求直线BD₁和AC的夹角．魔方格

答案

（Ⅰ）因为

AC1

AA 1

A 1B1

B1C1

；
∴

AC 1

2=（

AA 1

A 1B1

B1C1

）²=

AA 1

A1B1

B 1C1

2+2

AA 1

•

A 1B1

AA 1

•

B 1C1

A 1B1

•

B1C1

=b²+a²+a²+2abcos120°+2abcos120°+2a•acos90°
=b²+2a²-2ab．
∴AC₁=

b2+2a 2-2ab

．
（Ⅱ）∵

，

D1B

D1A

A1B1

B1B

；
∴|

(

) 2

2+2

•

a2+a2+2a 2cos90°

a；
|

D1B

(

D1A

A1B 1

B1B

) 2

D1A

A1B1

B1B

2+2

D1A

•

A1B1

D1A

•

B1B

A1B1

•

B1B

a2+b2+a2+2abcos60°+2a 2cos90°+2abcos120°

2a2+b2

．

•

D1B

=（

）•（

D1A1

A1B1

B1B

）
=

•

D1A1

•

A1B1

•

B1B

•

D1A1

•

A1B1

•

B1B

=ab；
∴cos＜

D1B

，

＞=

a•

2a2+b2

4a2+2b2

．
所以直线BD₁和AC的夹角为：arccos

4a2+2b2

核心考点

试题【已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°．（Ⅰ）求对角线AC1的长．（Ⅱ】；主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]

举一反三

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分别是正方形A₁B₁C₁D₁和ADD₁A₁的中心，则EF和CD所成的角是（　　）

A．60°

B．45°

C．30°

D．90°

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如图所示的空间直角坐标系A-xyz中，正三角形△ABC中AB=2，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁=2，D，E分别为A₁C，BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求异面直线BD与CE所成角的大小．魔方格

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如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，N是A₁D的中点，M∈BB₁，异面直线MN与A₁A所成的角为90°．
（1）求证：点M是BB₁的中点；
（2）求直线MN与平面ADD₁A₁所成角的大小；
（3）求二面角A-MN-A₁的大小．魔方格

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在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC，AB⊥AC，M是CC₁的中点，Q是BC的中点，点P在A₁B₁上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

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如图，若平面α⊥β，α∩β=CD，A∈α、B∈β，直线AB与α、β所成的角分别是30°、60°，则直线AB与CD所成角的大小为（　　）

A．60°

B．45°

C．30°

D．90°

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