题目

题型：不详难度：来源：

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点．
（1）求证：AB₁∥平面C₁DB；
（2）求异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值．

答案

（1）证明：如图所示，
连接B₁C交BC₁于E，连接DE，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，∴B₁E=EC．
又AD=DC．
∴DE∥AB₁，
而DE⊂平面C₁DB，AB₁⊄平面C₁DB，
∴AB₁∥平面C₁DB．
（2）由（1）知∠DEB或其补角为异面直线AB₁与BC₁所成的角，
在△DEB中，DE=5，BD=4

3

，BE=5．
∴cos∠DEB=

52+52-(4 3 )2

2×5×5

=

1

25

．