题目

题型：不详难度：来源：

如图，在正三棱锥P—ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是               （    ）
A．          B． C． D．

答案

B

解析

考点：
专题：计算题．
分析：如图，设D为BC中点，则 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面PBC，则 PE⊥面AMN，PE⊥AE．设底面边长为2，侧棱长为a，通过解三角形的方法，解得a=，设O为底面△ABC中心，连接OB，则∠PBO为三棱锥的侧棱PB与底面所成角，在△POB中求出 tan∠PBO．
解答：解：如图，设D为BC中点，则 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面PBC，则 PE⊥面AMN，PE⊥AE．
设底面边长为2，侧棱长为a，在△PBC中，PD²=a²-1，PE²=PD²=，ME=MN=．
在△PAB中，由余弦定理，cos∠APB=，代入数据化简得，AM²=+2，
在△PAE中，由勾股定理，得出 PA²=AE²+PE²=AM²-ME²+PE²，即a²=+2-+，解得a²=3，a=，设O为底面△ABC中心，连接OB，则∠PBO为三棱锥的侧棱PB与底面所成角，在△POB中，BO=，由勾股定理，PO²=PB²-BO²=，PO=，所以tan∠PBO=，
三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是．
故选B．
点评：本题考查线面角的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．