题目

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4。Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上。
（1）求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；
（3）求CD与平面AOB所成角的最大值。

答案

解：（1）由题意，
∴是二面角的直二面角
又∵二面角是直二面角
∴
又∵
∴平面
又平面
∴平面平面。

（2）作，垂足为E，连结（如图），
则，
∴是异面直线AO与CD所成的角
在中，，，
∴
又
在中，tan∠CDE=
∴异面直线AO与CD所成角的大小为。（3）由（1）知，平面，
∴是CD与平面AOB所成的角，且tan∠CDO=
当最小时，最大，
这时，，垂足为，，
tan∠CDO=，
∴CD与平面所成角的最大值为。