题目

题型：天津高考真题难度：来源：

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜），
（1）求MN的长；
（2）当a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小。

答案

解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，
依题意可得 MP∥NQ，且MP=NQ，
即MNQP是平行四边形，
∴MN=PQ，
由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴AC=BF=，
，即，
∴
；（Ⅱ）由（Ⅰ），，
所以，当a=时，MN=，
即M、N分别移动到AC、BF的中点时，
MN的长最小，最小值为。（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点，
∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，
又AG=BG=，
所以，由余弦定理有
，
故所求二面角。