题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

如图，已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=AC；M，N，P分别是棱BC，CC₁，B₁C₁的中点，
（Ⅰ）求证：PQ∥平面ANB₁；
（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面AMB₁．

答案

证明：（Ⅰ）取B₁N中点S连PS则PS∥CC₁，QA∥CC₁
∴PS∥QA，且PS=CC₁=QA
∴PSAQ为平行四边形，
∴PQ∥AS，又PQ平面ANB₁，AS平面ANB₁，
∴PQ∥平面ANB₁
（Ⅱ）∵AB=AC，M是棱BC的中点，
∴AM⊥BC
又三棱柱为直三棱柱，
∴CC₁⊥平面ABC，CC₁⊥AM
∴AM⊥平面CBB₁C₁，AM⊥MN
在直角△CMN和△BMB1中，
，
直角△CMN∽直角△BB₁M
∴MN⊥MB₁
又AM∩MB₁=M，
∴MNβ平面AMB₁；
∴平面AMN⊥平面AMB₁