题目

题型：江苏期末题难度：来源：

如图，斜三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C是菱形，，E、F分别是A₁C₁、AB的中点．求证：
（1）EF∥平面BB₁C₁C；
（2）平面CEF⊥平面ABC．

答案

证明：（1）取BC中点M，连接FM，C₁M，
在△ABC中，因为F，M分别为BA、BC的中点，
所以FM，
因为E为A₁C₁的中点，AC，
所以EF∥EC₁，从而四边形EFMC₁为平行四边形，
所以EF∥C₁M，
又因为C₁M?平面BB₁C₁C，EF?平面BB₁C₁C，
EF∥平面BB₁C₁C；
（2）在平面AA₁C₁C内，作A₁O⊥AC，O为垂足，
因为∠A₁AC=60°，
所以AO=AA₁=AC，
从而O为AC的中点．
所以OCA₁E，因而ECA₁O₁，
因为侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，交线为AC，A₁O⊥AC，
所以A₁O⊥面ABC．
所以EC⊥面ABC，
又因为EC平面EFC，
所以平面CEF⊥平面ABC．