题目

题型：河南省期中题难度：来源：

如图，四边形ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，F是线段BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求异面直线PB与DF所成角．

答案

解：（1）连接AF， ∵PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD，
∴PA⊥DF
∵Rt△ABF中，AB=BF=1，
∴AF==，
同理可得DF=
∴△ADF中，AF²+DF²=4=AD²，可得AF⊥DF
∵AF、PA是平面PAF内的相交直线，
∴DF⊥平面PAF
∵PF平面PAF，
∴PF⊥FD
（2）取AD中点E，连接PE、BE
∵DE∥BF且DE=BF=AB
∴四边形BEDF是平行四边形
所以BE∥DF，
可得∠PBE或其补角是异面直线PB与DF所成的角．
∵PA⊥平面ABCD，
∴AB是PB在平面ABCD内的射影，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角
∴Rt△PAB中，∠PBA=45°，可得PA=AB=1，PB=AB=
又∵Rt△EAB中，AB=AE=1，
∴BE==，
同理PE=
∴△PBE是边长等于的等边三角形，
故∠PBE=60°
因此，异面直线PB与DF所成的角等于60°．