题目

题型：不详难度：来源：

如图，在△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)．
（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）若BE⊥AC，求证：平面BEF⊥平面ACD．

答案

（本小题满分15分）
证明：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，（1分）


∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（4分）
又

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，（5分）
∴EF⊥平面ABC，又EF在平面BEF内，（7分）
∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC．（8分）
（2）：由（1）知EF⊥平面ABC，∴BE⊥EF，（10分）
又∵BE⊥AC且EF∩AC=E，∴BE⊥平面ACD，（13分）
又BE在平面BEF内，
∴平面BEF⊥平面ACD．（15分）