题目

题型：0112 模拟题难度：来源：

如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面所成角分别为30°、45°， M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1。
（Ⅰ）求证：MN⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求线段AB的长；
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的平面角的正弦值。

答案

（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，EB⊥AB，
∴EB⊥平面ABCD，
又MN∥EB，
∴MN⊥面ABCD．  （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角，
∴∠EDB=30°，
又在Rt△EBD中，EB=2MN=2，∠EBD=90°，
∴DE=，
连结AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角，
∴∠DEA=45°，
在Rt△DAE中，∠DAE=90°，
∴AE=DE·cos∠DEA=2，
在Rt△ABE中，。
（Ⅲ）解：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH，
∵AD⊥平面ABEF，BO面ABEF，
∴BO⊥平面ADE，
∴OH为BH在平面ADE内的射影，
∴BH⊥DE，即∠BHO为所求二面角的平面角，
在Rt△ABE中，BO=，
在Rt△DBE中，由BH·DE=DB·OE得BH=，
∴sin∠BHO=。