题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点。
（1）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（2）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的大小（结果用反三角函数值表示）。

答案

解：（1）连结A₁B，则A₁B是D₁E在面ABB₁A内的射影
∵AB₁⊥A₁B，
∴D₁E⊥AB₁，
于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF
连结DE，则DE是D₁E在底面ABCD内的射影
∴D₁E⊥AFDE⊥AF
∵ABCD是正方形，E是BC的中点
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F。
（2）当D₁E⊥平面AB₁F时，由（1）知点F是CD的中点
又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD
连结AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C₁H，
则CH是C₁H在底面ABCD内的射影
C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁-EF-C的平面角
在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=AC=，
∴tan∠C₁HC=
∴∠C₁HC=arctan，从而∠AHC₁=
故二面角C₁-EF-A的大小为。